Les plaques et coques sont des éléments de structure dont l'une des dimensions est petite devant les deux autres. Elles sont omniprésentes dans l'industrie (réservoirs, coques de bateaux, carosseries de voitures, …) et le génie civil (planchers, tabliers de ponts, couvertures de bâtiments, …). Il est donc essentiel pour l'ingénieur de savoir calculer les efforts qui se développent dans des structures composées de coques, afin de pouvoir procéder à leur dimensionnement.

Les théories de coques ont pour but de tirer parti de leur élancement pour en simplifier le calcul mécanique. En considérant des cinématiques réduites de plus en plus riches, on peut construire des modèles de plaques et coques de complexité croissante. On se restreindra ici aux modèles les plus simples, à savoir les modèles de Kirchhoff-Love et de Reissner-Mindlin. Les modèles de coques seront en revanche formulés dans le cadre des grandes transformations.

Les théories de coques ont pour but de tirer parti de leur élancement pour en simplifier le calcul mécanique. Vue de suffisamment loin, la coque est considérée comme une surface sans épaisseur (le feuillet de référence), dont chaque point est doté de six degrés de liberté (les déplacements généralisés) : trois translations et trois rotations. Les variations de géométrie de cette surface sont caractérisées par des déformations généralisées. De même, l'état de contrainte de la coque est décrit par un ensemble de contraintes généralisées. On admet alors que si la coque est suffisamment mince, son comportement mécanique peut être raisonnablement bien décrit par ces seules variables généralisées. Ainsi, un modèle de coque est constitué : (1) des équations d'équilibre portant sur les contraintes généralisées, (2) des relations géométriques reliant déformations et déplacements généralisés et (3) des relations de comportement reliant contraintes et déformations généralisées. Le tout forme un système d'équations aux dérivées partielles.

Ce module n’est pas un module de conception. Les étudiants n’apprendront pas à dimensionner les raidisseurs d’une coque de sous-marin ou le taux d’armatures actives dans un aéroréfrigérant. Ils recevront en revanche tous les éléments théoriques constituant les prérequis essentiels au dimensionnement d’une structure constituée de plaques ou coques.

On formule dans ce module les modèles de plaques et de coques les plus utilisés par l’ingénieur. Il s’agit des modèles de Kirchhoff–Love et Reissner–Mindlin pour les plaques, et du modèle de Kirchhoff–Love pour les coques. À l’issue de ce module, les élèves sauront définir une plaque, une coque et les contraintes généralisées associées, interpréter ces contraintes généralisées (en particulier, leur signe) en termes d’efforts intérieurs et les relier aux contraintes de Cauchy, décrire les modèles classiques de plaques et coques, leurs hypothèses, les déformations généralisées associées, ainsi que leurs domaines d’application respectifs, sélectionner les « bonnes » conditions aux limites, en fonction du type d’appui et du modèle choisi,mettre en équation des problèmes d’équilibre et de stabilité de plaques et de coques et résoudre ces problèmes analytiquement dans les cas les plus simples, sélectionner, dans la perspective d’un calcul numérique, les éléments finis les mieux adaptés au problème considéré.

En somme, les étudiants maîtriseront tous les éléments théoriques constituant les prérequis essentiels au dimensionnement d’une structure constituée de plaques ou coques.

Le module est articulé en deux grandes parties. Nous aborderons dans la premièere partie les principales théories de plaques. La deuxième partie sera consacrée à la théorie des coques. Elle sera précédée d’une introduction à la géométrie différentielle sur les surfaces, au cours de laquelle nous présenterons les outils indispensables au traitement des aspects purement géométriques des théories de coques. Les aspects mécaniques de ces théories s’appuieront fortement sur les enseignements tirés de la théorie des plaques.

Le module est composé de 13 séances, réparties comme suit

Séance n°1 — Introduction générale

Séance n°2 — Équilibre des plaques

Séance n°3 — Plaques de Reissner–Mindlin

Séance n°4 — Flexion axisymétrique de plaques

Séance n°5 — TP Abaqus

Séance n°6 — Examen intermédiaire

Séance n°7 — Géométrie différentielle sur les surfaces

Séance n°8 — Transformations du feuillet de référence

Séance n°9 — Coques en équilibre membranaire

Séance n°10 — Flexion des coques dans l’HPP

Séance n°11 — Membranes en grandes transformations

Séance n°12 — TP Abaqus

Séance n°13 — Examen final

Ce module est enseigné en classe dite « inversée ». En pratique, préalablement à chaque séance, les étudiants devront s’acquitter des tâches suivantes.

Chaque séance débutera alors par une discussion collective portant sur la lecture effectuée au préalable. Si nécessaire, nous reviendrons également sur les exercices proposés en ligne.

Enfin, des exercices de difficulté croissante nous permettront d’approfondir certains points du cours, et de mettre en pratique les notions introduites.

Il faut noter que ce module s’appuie exclusivement sur la plateforme Educnet (https://educnet.enpc.fr/course/view.php?id=265 sur laquelle les étudiants trouveront tous les supports du cours ainsi que le travail à préparer, séance par séance. Ils devront également y déposer tous leurs rendus. À ce titre, ils sont invités à se rendre fréquemment sur ce site, et à se familiariser au plus tôt avec son fonctionnement (en ce qui concerne en particulier le dépôt de documents et la réponse aux exercices).

Les éléments constitutifs de la note finale du module sont les suivants

Le polycopié est l’élément clé de ce cours : pour chaque séance, les étudiants devront en lire attentivement un chapitre. Les documents suivants pourront également être consultés à titre de complément.