Espaces de Hilbert, théorème de Lax-Milgram, Equations différentielles ordinaires, intégrale de Lebesgue, calcul différentiel, algèbre linéaire.

Espaces de Sobolev (e.g. cours d'Outils mathématiques pour l'Ingénieur et Analyse et Calcul Scientifique de première année, Cours de Contrôle des systèmes dynamiques/analyse fonctionnelle du 1er semestre 2A, cours EDP : approche variationnelle de première année).

Le cours Problèmes d'évolution a pour objectif d'initier les étudiants à l'étude mathématique et numérique des équations aux dérivées partielles modélisant l'évolution dans le temps d'une quantité d'intérêt. Les problèmes d'évolution interviennent dans de très nombreux domaines, que ce soit pour l'industrie ou pour la recherche académique, par exemple en mécanique, ingénierie, finance, biologie, chimie, physique etc.

A l'issue de ce cours, les étudiants sauront :

- modéliser mathématiquement un problème d'évolution concret;

- classer ce problème selon ses propriétés mathématiques (savoir identifier si le problème est parabolique ou hyperbolique par exemple);

- identifier les outils théoriques et numériques pour aborder ce problème;

- tester des méthodes numériques simples.

Partie 1: Théorie spectrale des opérateurs bornés

3 séances de cours, 1 séance de TD

Nous présentons dans cette partie les outils basiques de théorie spectrale des opérateurs bornés, qui joue un rôle fondamental pour les problèmes aux valeurs propres et les problèmes d'évolution. Nous verrons en particulier le théorème de diagonalisation des opérateurs compacts auto-adjoints, et introduirons comme application de ces notions les valeurs propres et vecteurs propres de l'opérateur Laplacien sur un domaine borné avec conditions aux bords de Dirichlet homogènes

Partie 2 : Introduction aux lois de conservations scalaires

4 séances de cours, 1 séance de TD,

Dans cette partie, nous donnerons quelques outils et concepts fondamentaux pour l'étude des lois de conservation scalaires. Plus précisément, nous commencerons par introduire la méthode des caractéristiques ainsi que la notion de solution faible pour l'équation de transport linéaire, puis nous étudierons l'existence et unicité de solutions classiques et faibles à l'équation de Burgers

Partie 3: Concepts théoriques fondamentaux pour les problèmes d'évolution

2 séances de cours, 1 séance de TD.

Dans cette partie, nous introduirons les principaux concepts théoriques fondamentaux pour aborder l'étude mathématique de problèmes d'évolution : classification des problèmes d'évolution, utilisation de la transformée de Fourier pour résoudre les problèmes à coefficients constants. Etude des solutions de l'équation de la chaleur par méthode de Galerkin, propriétés qualitatives.

Le cours se déroule sur 13 séances de 2.5 heures dont :

- 9 séances de cours magistral

- 3 séances de TD

- 1 devoir surveillé

En complément :

-1 DM théorique et numérique (travail personnel prévu : 6h)

Le cours sera évalué sur plusieurs éléments, à savoir:

- le DM théorique et numérique (40%)

- l'examen final (60%)

Un polycopié sa mis à disposition des étudiants sur la page educnet du cours.

Les livres de référence pour le cours sont:

- Partial Differential Equations, L.C. Evans

- Numerical Approximation of Partial Differential Equations, A. Quarteroni et A. Valli

- Methods of Modern Mathematical Physics: Analysis of Operators, M. Reed et B. Simon

01 Septembre 2024