Analyse 1^re année

L'analyse en fréquences, en particulier la transformée de Fourier, est un outil qui permet de décomposer les signaux ou les opérateurs selon leurs modes fondamentaux. Cette théorie mathématique a de nombreuses applications pour l'ingénieur, parfois spectaculaires : étude des cours de la bourse, compréhension climatique de la température des océans, mise en résonance de structures de génie civil conduisant à leur ruine, etc.

A l'issue de ce cours, les étudiants sauront utiliser à bon escient la transformation de Fourier pour analyser un problème physique ou un signal donné, et connaitront les limitations théoriques, pratiques et numériques de cet outil. Ils sauront également décomposer en ses modes propres une équation aux dérivées partielles, issue d'un problème concret (vibration d'une membrane, équation de Schrödinger, évolution de la loi d'une équation différentielle stochastique,...), afin de prédire son évolution temporelle et ses états d'équilibre, et de les approcher numériquement de manière efficace et correcte.

Le cours se décompose en trois parties :

1) Dans un premier temps, les étudiants apprendront à se servir de la transformée de Fourier et de sa généralisation aux distributions pour résoudre des équations aux dérivées partielles et étudier la régularité de leurs solutions.

2) Dans un second temps, les étudiants analyseront les méthodes numériques de calcul d'une transformation de Fourier et sauront quantifier leurs limitations, notamment les effets indésirables de la discrétisation numérique (tels que l'aliasing).

3) Enfin, les étudiants verront comment on peut décomposer une équation aux dérivées partielles en ses modes propres généralisés par le biais de la théorie spectrale, et sauront quelles précautions il faut prendre pour effectuer cette décomposition dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Ils appliqueront la méthode à des problèmes standards issus de la physique (détermination des modes propres de vibration d'une structure de génie civil, calcul de l'état fondamental d'une molécule) et de la théorie des probabilités (équation de Fokker-Planck régissant l'évolution de la loi d'un processus stochastique).

Les 13 séances de 3h de ce cours seront menées en "pédagogie active" : après une brève introduction par l'enseignant, les élèves résoudront des problèmes en petits groupes, avant une restitution finale. Une séance de travaux pratiques sur machines complétera la formation. Tous les élèves devront lire en avance le cours de la semaine suivante dans le polycopié et travailler les exercices de la semaine précédente de manière régulière : ceci sera vérifié et validé par 4 mini-quizz "surprise".

La note finale sera une moyenne pondérée fondée sur les éléments suivants : 1) participation au travail du groupe ; 2) compte-rendu du TP sur la discrétisation de la transformée de Fourier; 3) notes des mini-quizz ; 4) examen final sur la transformée de Fourier et la théorie des opérateurs.

Un examen oral de rattrapage permettra aux étudiants qui ont raté leur examen écrit d'avoir une seconde chance de valider ce module.

Polycopié du cours.