ras

Cours " outils mathématiques " (semaine de rentrée)

Ce cours est une introduction à plusieurs domaines de l'analyse du 20eme siècle, avec un accent particulier mis sur les techniques permettant de comprendre et de résoudre les équations aux dérivées partielles que l'on rencontre dans de nombreux domaines des sciences (équations de transport, de la chaleur, de Schrödinger, des ondes, etc).

A l'issue de ce module, les étudiants devront être capables de déterminer si les équations aux dérivées partielles qu'ils considèrent sont bien posées d'un point de vue théorique (en vérifiant que les conditions d'application des théorèmes d'existence/unicité des solutions sont remplies), et en en donnant des solutions, soit numériquement, soit analytiquement par diverses méthodes (fonctions de Green, transformée de Fourier, etc).

Ce module est un cours d'introduction accessible à toute la promotion, donnant une première idée de la force et des limites des méthodes mathématiques et numériques dans la résolution de problèmes scientifiques concrets. C'est également un cours fondamental, à approfondir, pour les étudiants souhaitant par la suite utiliser voire développer des méthodes numériques.

Sur le plan théorique, on présente les espaces de Lebesgue, fondés sur la théorie de l'intégrale du même nom, qui généralise l'intégration de Riemann ; ainsi que la théorie des distributions, qui permet de donner un sens à des solutions très singulières des équations aux dérivées partielles. On introduit également des outils utiles comme la transformée de Fourier. On décrit enfin des méthodes numériques pour résoudre des équations aux dérivées partielles, soit par une méthode spectrale fondée sur les séries de Fourier, ou par différences finies ; avec dans les deux cas une mise en oeuvre pratique via des codes informatiques.

Ce cours est enseigné en " pédagogie active ", un mode connu sous le nom de " classe inversée ") : le cours est appris à la maison par les étudiants, et les séances de cours sont réservées à des discussions sur des points techniques fins, et à la résolution d'exercices en groupes librement composés de 3/4 personnes. Ce cours est valorisé à 3,5 ECTS, ce qui signifie que, selon les normes de la commission européenne, vous devriez travailler en moyenne 85h sur le semestre pour cet enseignement. Il faut donc compter environ 2 à 3h de travail régulier par semaine pour ce cours, plus quelques révisions spécifiques aux examens.

Deux examens de mi-parcours (6 points chacun) et contrôle continu (8 points).

Polycopié du cours, corrections vidéos des exercices les plus difficiles, sujets de TPs