ENPC Ecole des ponts
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Equations aux dérivés partielles et éléments finis
Année scolaire 2020-2021
Créneau Sem 2
Prérequis

Cours d'analyse et calcul scientifique de premier semestre

Enseignant responsable Frédéric LEGOLL
Equipe enseignante Frédéric LEGOLL, Remi GOUDEY, Olga GORYNINA
Objectifs du module

De très nombreux phénomènes en sciences de l'ingénieur (en mécanique des solides, en mécanique des fluides, en finance, dans le domaine des transports, ...) sont modélisés par des Equations aux Dérivées Partielles (EDP). En pratique, la solution exacte de ces problèmes ne peut pas être calculée et on utilise des méthodes numériques (très souvent la méthode des Eléments Finis) pour en calculer une approximation. L'objectif de ce module est de donner aux futurs ingénieurs les outils nécessaires pour l'analyse mathématique de ces problèmes, et pour la compréhension fine de la méthode des éléments finis : estimation de l'erreur commise en fonction des paramètres de discrétisation, mise en oeuvre pratique sur ordinateur.

 

Ce module est un cours d'approfondissement. Il s'appuie sur le cours d'Analyse et Calcul Scientifique du premier semestre, dans lequel les notions auront été surtout vues en dimension un d'espace. On s'intéresse ici à des problèmes en dimension d'espace quelconque (ce qui est la situation courante pour l'ingénieur), éventuellement non-coercifs (tels que le problème de Stokes en mécanique des fluides), et qui ne relèvent donc pas nécessairement de la théorie étudiée au premier semestre. Cette large gamme de problèmes amène des difficultés mathématiques nouvelles, nécessitant des outils originaux pour les traiter.

 

Ce cours vise un large public, et on s'attachera à faire le lien avec d'autres cours de l'Ecole, en mathématiques et dans d'autres disciplines.

Programme du module

L'ensemble du cours s'intéressera à des problèmes en dimension d'espace quelconque.

 

Séances 1 et 2 : équivalence entre les EDP et leur formulation variationnelle, en mettant en particulier l'accent sur la prise en compte des conditions aux limites, qui est un phénomène nouveau en dimension d'espace quelconque : conditions aux limites de Dirichlet, de Neumann, de Robin, conditions aux limites périodiques, ... Utilisation du théorème de Lax-Milgram pour montrer le caractère bien posé des problèmes variationnels coercifs. Formulation du problème sous la forme de la minimisation d'une énergie. Ouverture vers l'élasticité linéaire et les problèmes non-linéaires.

 

Séance 3 : problème de Stokes, théorie inf-sup, notion de point-selle. Formulation du problème en terme de minimisation sous contrainte d'une énergie.

 

Séances 4, 5 et 6 : Approximation variationnelle des EDP et méthode de Galerkin (cadre coercif et cadre inf-sup). Lemme de Céa. Présentation de la méthode des éléments finis, résultats d'approximation de fonctions régulières par des fonctions polynomiales par morceaux, estimation de l'erreur en fonction du pas de maillage. Notion de stabilisation, modification de la formulation variationnelle pour la discrétisation, crimes variationnels. Implémentation de la méthode des éléments finis dans un cas simple. Dans le cas du problème de Stokes, description de mauvais choix d'espaces de discrétisation (conduisant à des phénomènes de verrouillage numérique) et description de bons choix (conduisant à une méthode convergente). Présentation des grandes classes de méthodes pour la résolution de systèmes linéaires: méthodes directes et indirectes, conditionnement, notion de préconditionneur.

Modalités

Le cours comporte 6 séances de 2.5h (incluant un ou deux amphis de courte durée), en petites classes. Le travail en séance s'appuie sur des fiches d'exercices (ou sur les examens des années passées, en fin de module), disponibles en avance sur le site web du cours, et dont le corrigé sera ensuite disponible.

 

Le cours comporte une réalisation informatique, pour laquelle les élèves seront guidés et accompagnés par les enseignants lors de séances supplémentaires de TPA.

 

Le cours sera éventuellement donné en anglais dans une des petites classes, en fonction du nombre d'élèves le souhaitant.

Contrôle des connaissances - Règles de validation du module

L'évaluation finale sera basée sur l'examen final (séance dédiée) et le projet informatique. La participation et le travail personnel feront l'objet de gratifications.

Adresse du site du module http://cermics.enpc.fr/~legoll/edpef.html
Documents pédagogiques - Bibliographie

Polycopié, transparents des amphis, fiches d'exercices et examens des années passées, corrections des exercices et des examens.

Effectif maximal Effectif illimité
Département de rattachement Département de 1ère année
Nombre de crédits ECTS 1,5 crédit ECTS
Code 1EDPF
Dernière mise à jour  :  03/02/2020
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