Cours d'analyse et calcul scientifique de premier semestre

De très nombreux phénomènes en sciences de l'ingénieur (en mécanique des solides, en mécanique des fluides, en finance, dans le domaine des transports, ...) sont modélisés par des Equations aux Dérivées Partielles (EDP). En pratique, la solution exacte de ces problèmes ne peut pas être calculée et on utilise des méthodes numériques (très souvent la méthode des Eléments Finis) pour en calculer une approximation. L'objectif de ce module est de donner aux futurs ingénieurs les outils nécessaires pour l'analyse mathématique de ces problèmes, et pour la compréhension fine de la méthode des éléments finis : estimation de l'erreur commise en fonction des paramètres de discrétisation, mise en oeuvre pratique sur ordinateur. Dans la deuxième partie du cours, on s'intéressera à des méthodes de discrétisation très modernes (introduites il y a seulement une dizaine d'années) pour traiter des contextes particuliers.

Ce module est un cours d'approfondissement. Il s'appuie sur le cours d'Analyse et Calcul Scientifique du premier semestre, dans lequel les notions auront été surtout vues en dimension un d'espace. On s'intéresse ici à des problèmes en dimension d'espace quelconque (ce qui est la situation courante pour l'ingénieur), avec des conditions aux limites variées, et pour des opérateurs plus variés que l'opérateur de diffusion. Cette large gamme de problèmes ne relève donc pas de la théorie étudiée au premier semestre, et amène des difficultés mathématiques nouvelles, nécessitant des outils originaux pour les traiter.

Ce cours vise un large public, et on s'attachera à faire le lien avec d'autres cours de l'Ecole, en mathématiques et dans d'autres disciplines.

L'ensemble du cours s'intéressera à des problèmes en dimension d'espace quelconque.

Séances 1 et 2 : Equivalence entre les EDP et leur formulation variationnelle, en mettant en particulier l'accent sur la prise en compte des conditions aux limites, qui est un phénomène nouveau en dimension d'espace quelconque : conditions aux limites de Dirichlet, de Neumann, de Robin, conditions aux limites périodiques, … Théorème de Lax-Milgram. Etude mathématique du problème de l'élasticité linéaire, inégalités de Korn.

Séance 3 : Approximation variationnelle des EDP et méthode de Galerkin. Lemme de Céa. Présentation de la méthode des éléments finis, estimation d'erreur. Implémentation de la méthode des éléments finis dans un cas simple. Présentation des grandes classes de méthodes pour la résolution de systèmes linéaires: méthodes directes et indirectes, conditionnement, notion de préconditionneur.

Séances 4 et 5 : Méthode des bases réduites pour les problèmes paramétrés (rencontrés typiquement en quantification d'incertitude, optimisation, ...): présentation, algorithme glouton idéal et algorithme glouton en pratique, mise en œuvre dans des cas simples.

Séance 6 : Un exemple où les méthodes usuelles ne fonctionnent pas : les problèmes convection dominée. Notion de stabilisation, modification de la formulation variationnelle pour la discrétisation, crimes variationnels.

Le cours comporte 6 séances de 2.5h (incluant un ou deux amphis de courte durée), en petites classes. Le travail en séance s'appuie sur des fiches d'exercices, disponibles en avance sur le site web du cours.

Le cours comporte une réalisation informatique, pour laquelle les élèves seront guidés et accompagnés par les enseignants lors de deux séances supplémentaires de TPA.

Le cours sera éventuellement donné en anglais dans une des petites classes, en fonction du nombre d'élèves le souhaitant.

L'évaluation finale sera basée sur l'examen final (séance dédiée) et le projet informatique. La participation et le travail personnel feront l'objet de gratifications.

Polycopié, transparents des amphis, fiche d'exercices